Καλή Ανάσταση!!!

Πιθανότητες σε άπειρους δειγματόχωρους

Πιθαν$ό$τητες σε $ά$πειρους δειγματ$ό$χωρους

 

Περ$ί$ληψη

Η αντ$ί$ληψη για το $ί$διο το μαθηματικ$ό$ $ά$πειρο γ$ί$νεται περισσ$ό$τερο κατανοητ$ή$ μ$έ$σω της προσ$έ$γγισης κ$ά$ποιων απλ$ώ$ν ερωτημ$ά$των μ$έ$σω της Θεωρ$ί$ας Πιθανοτ$ή$των. Στην $ί$δια προσ$έ$γγιση, γ$ί$νεται κατανοητ$ή$ η $έ$ννοια της κατανομ$ή$ς απειροσυν$ό$λων σε απειροσ$ύ$νολα, ε$ί$τε ε$ί$ναι αριθμ$ή$σιμα $ή$ υπεραριθμ$ή$σιμα.

Εισαγωγ$ή$

Με βασικ$ά$ εργαλε$ί$α τον ορισμ$ό$ της πιθαν$ό$τητας και την $έ$ννοια του ορ$ί$ου $ό$πως και με λ$ί$γα πορ$ί$σματα της Θεωρ$ί$ας Μ$έ$τρου, μπορο$ύ$ν να γ$ί$νουν πιο κατανοητ$έ$ς οι $έ$ννοιες του απε$ί$ρου, της αριθμησιμ$ό$τητας της υπεραριθμησιμ$ό$τητας $ό$πως και της κατανομ$ή$ς δι$ά$$\phi$ορων γνωστ$ώ$ν υποσυν$ό$λων του $ℝ$ σε δι$ά$$\phi$ορα υποσ$ύ$νολ$ά$ του. Το πλ$έ$ον γ$ό$νιμο μαθησιακ$ά$, ε$ί$ναι η σ$ύ$γκρουσης της πεπερασμ$έ$νης $\phi$$ύ$σης του ανθρ$ώ$που με την καταν$ό$ηση του απε$ί$ρου. Ναι μεν τα $ί$δια τα Μαθηματικ$ά$ αναπτ$ύ$σσονται με διαδικασ$ί$ες α$\phi$α$ί$ρεσης της $\phi$$ύ$σης αλλ$ά$ ιδ$ί$ως για το $ά$πειρο, $έ$χομε απ$ό$ την $ί$δια την $\phi$$ύ$ση του το σχ$ή$μα: $\infty -\pi \epsilon \pi \epsilon \rho \alpha \sigma \mu έ\nu o=\infty$ . $Έ$χουμε λοιπ$ό$ν, μια διαρκ$ή$ σ$ύ$γκρουση α$\phi$$΄$εν$ό$ς των νοητικ$ώ$ν δομ$ώ$ν, των «ενσ$ώ$ματων Μαθηματικ$ώ$ν» της ανθρ$ώ$πινης γλ$ώ$σσας, των ιδιαιτεροτ$ή$των του ανθρ$ώ$πινου σ$ώ$ματος και μυαλο$ύ$ και α$\phi$$΄$ετ$έ$ρου των μαθηματικ$ώ$ν αξιωμ$ά$των, που δεν μπορο$ύ$ν να δ$ώ$σουν εξηγ$ή$σεις για την $\phi$$ύ$ση του αριθμ$ή$σιμου $ή$ υπεραριθμ$ή$σιμου απε$ί$ρου και την $\phi$$ύ$ση του πραγματικο$ύ$ $ά$πειρου. (Πατ$έ$ρας, Ι. 2016)

Στα παρακ$ά$τω παραδε$ί$γματα $έ$χουμε δειγματικο$ύ$ς χ$ώ$ρους αριθμησ$ί$μως $ά$πειρους (διακριτο$ύ$ς) ε$ί$τε μη αριθμ$ή$σιμους(συνεχε$ί$ς) και θεωρο$ύ$με την πιθαν$ό$τητα ε$ί$τε κατ$ά$ Von Mises ε$ί$τε κατ$ά$ την κλασικ$ή$ αξιωματικ$ή$ θεμελ$ί$ωση της $έ$ννοιας. (Χαραλαμπ$ί$δης, Χ. 2003)

Παρ$ά$δειγμα 1

Το ε$ύ$ρος παρατηρ$ή$σεων των υψ$ώ$ν μαθητ$ώ$ν μιας τ$ά$ξης Γυμνασ$ί$ου με μον$ά$δα το 1m, ε$ί$ναι στο δι$ά$στημα λ.χ. [ 1.60 , 1.70] Πο$ί$α η πιθαν$ό$τητα να $έ$χει μαθητ$ή$ς $ύ$ψος 1,65; Εκε$ί$ ο μαθητ$ή$ς απαντ$ά$ $\frac{1}{\infty }=0$ και $έ$χουμε την πρ$ώ$τη μας επα$\phi$$ή$ $ό$τι μη κεν$ό$ ενδεχ$ό$μενο δειγματικο$ύ$ χ$ώ$ρου μπορε$ί$ να $έ$χει μηδενικ$ή$ πιθαν$ό$τητα. Και μ$ά$λιστα ανεξαρτ$ή$τως παραδοχ$ή$ς κατανομ$ή$ς λ.χ. ομοι$ό$μορ$\phi$ης $ό$που ενυπ$ά$ρχει η $έ$ννοια του «ισοπ$ί$θανου» ε$ί$τε κανονικ$ή$ς $ή$ $ά$λλης. Το αποτ$έ$λεσμα γ$ί$νεται πιο ενδια$\phi$$έ$ρον αν σκε$\phi$θο$ύ$με $ό$τι ακ$ό$μα και να απαιτ$ή$σουμε το αποτ$έ$λεσμα να ε$ί$ναι λ.χ. «μ$ί$α απ$ό$ τις παρακ$ά$τω 1.000 δια$\phi$ορετικ$έ$ς τιμ$έ$ς υψ$ώ$ν που εμπερι$έ$χονται στο [1.60,1.70]», π$ά$λι $έ$χουμε το σχ$ή$μα $\frac{1.000}{\infty }=0$ . Αν αναλογιστο$ύ$με το «πο$ί$α η πιθαν$ό$τητα $$ $έ$νας μαθητ$ή$ς να $έ$χει ρητ$ό$ $ύ$ψος», υπολογ$ί$ζουμε σ$ύ$μ$\phi$ωνα με την θεωρ$ί$α του μ$έ$τρου μετρ$ή$σιμων συν$ό$λων κατ$ά$ Lebesgue τον λ$ό$γο
$\frac{\mu (\mathbb{Q}\cap [\mathrm{1.60,1.70}]}{\mu ([\mathrm{1.60,1.70}])}=\frac{0}{1.70-1.60}=\frac{0}{1}=0$ (Κολουντζ$ά$κης, Μ.2010) ,(Πλατ$ά$ρος, Ι. 2018) Αν το επεκτε$ί$νουμε κι $ά$λλο ενσωματ$ώ$νοντας και τους αλγεβρικο$ύ$ς αρρ$ή$τους που υπ$ά$ρχουν στο δι$ά$στημα υψ$ώ$ν, επειδ$ή$ κι αυτο$ί$ ε$ί$ναι αριθμ$ή$σιμοι και η $έ$νωση αριθμησ$ί$μων $έ$χει μ$έ$τρο Lebesgue το 0, π$ά$λι $έ$χουμε πιθαν$ό$τητα μηδ$έ$ν. Τελικ$ά$, το «β$έ$βαιο γεγον$ό$ς» με πιθαν$ό$τητας 1, ε$ί$ναι η πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς υπερβατικο$ύ$ αριθμο$ύ$ (Πλατ$ά$ρος, Ι. 2018)

Ενδια$\phi$$έ$ρον $έ$χει και να θεωρ$ή$σουμε την αν$ά$λογη κατασκευ$ή$ του συν$ό$λου του Cantor στο σ$ύ$νολο [1.60,1.70] που ε$ί$ναι υπεραριθμ$ή$σιμο μεν, αλλ$ά$ αυτ$ό$ $έ$χει μ$έ$τρο μηδ$έ$ν οπ$ό$τε $έ$χουμε π$ά$λι πιθαν$ό$τητα μηδ$έ$ν, οπ$ό$τε η πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς απ$ό$ το δι$ά$στημα [1.60,1.70] ρητο$ύ$ ε$ί$τε αρρ$ή$του αλγεβρικο$ύ$, ε$ί$τε στοιχε$ί$ου του υπεραριθμ$ή$σιμου αντιστο$ί$χως κατασκευαζ$ό$μενου συν$ό$λου Cantor, ε$ί$ναι μηδ$έ$ν.

Παρ$ά$δειγμα 2.

: Εκτελ$ώ$ντας το νοητ$ό$ πε$ί$ραμα εξαγωγ$ή$ς εν$ό$ς τυχα$ί$ου στοιχε$ί$ου του $\mathbb{N}$, πο$ί$α η πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς εν$ό$ς $ά$ρτιου $\phi$υσικο$ύ$;

Εδ$ώ$ αμ$έ$σως και σωστ$ά$, η δια$ί$σθηση μας λ$έ$ει $\mathrm{½}$ . Στην γενικ$ή$ του περ$ί$πτωση, $\phi$ανταζ$ό$μαστε αυτ$ό$ να υπολογ$ί$ζεται α$\phi$ο$ύ$ θεωρ$ή$σουμε $έ$ναν $\phi$υσικ$ό$ αριθμ$ό$ ν, $έ$πειτα την συν$ά$ρτηση π(ν) που μας δ$ί$νει το π$ό$σοι $\phi$υσικο$ί$ αριθμο$ί$ μ$έ$χρι το ν $έ$χουν την ιδι$ό$τητα π (εδ$ώ$ π$ό$σοι $ά$ρτιοι υπ$ά$ρχουν μ$έ$χρι το ν) , ε$\phi$$΄$ $ό$σον μπορο$ύ$με να την υπολογ$ί$σουμε κ$ά$θε $\phi$ορ$ά$ και στην συν$έ$χεια υπολογ$ί$ζουμε το $\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\pi (\nu )}{\nu }$ Για την περ$ί$πτωση της εξαγωγ$ή$ς $ά$ρτιου $\phi$υσικο$ύ$ γνωρ$ί$ζουμε $ό$τι π(ν)= $\left[\frac{\nu }{2}\right]$ $ό$που [ ] : συν$ά$ρτηση «ακ$έ$ραιο μ$έ$ρος» $΄$$Έ$τσι $έ$χουμε :

$\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\pi (\nu )}{\nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\left[\frac{\nu }{2}\right]}{\nu }\le \underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\frac{\nu }{2}}{\nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\nu }{2\nu }=\frac{1}{2}$ (1) Επ$ί$σης $έ$χουμε και

$\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\pi (\nu )}{\nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\left[\frac{\nu }{2}\right]}{\nu }\ge \underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\frac{\nu }{2}-1}{\nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\nu -2}{2\nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{\nu }\right)=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}$ (2)

Απ$ό$ (1) & (2) $έ$χουμε $\frac{1}{2}\underset{\nu \to \infty }{\le \lim }\frac{\pi (\nu )}{\nu }\le \frac{1}{2}\kappa \alpha \iota \tau \epsilon \lambda \iota \kappa ά\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\pi (\nu )}{\nu }=\frac{1}{2}$

Με εντελ$ώ$ς αν$ά$λογο τρ$ό$πο γενικε$ύ$εται η προσ$έ$γγιση για την ε$ύ$ρεση της πιθαν$ό$τητας εξαγωγ$ή$ς πολλαπλασ$ί$ου του $\phi$υσικο$ύ$ αριθμο$ύ$ κ, ως $\frac{1}{\kappa }$ .

$Ό$λα τα παραπ$ά$νω $\phi$αντ$ά$ζουν ε$ύ$λογα, καθ$ώ$ς κ$ά$νουμε μια γεν$ί$κευση σε κ$ά$τι που διαισθαν$ό$μαστε απολ$ύ$τως β$έ$βαιο σε κ$ά$θε πεπερασμ$έ$νο απ$ό$κομμα του $\mathbb{N}$ με την $\phi$υσικ$ή$ δι$ά$ταξη αρ$ί$θμησης . Εδ$ώ$ $ό$μως $έ$χουμε αντιπαρ$ά$δειγμα: Αναδιατ$ά$σσω το $\mathbb{N}$ και επανατοποθετ$ώ$ τα στοιχε$ί$α του με τον εξ$ή$ς τρ$ό$πο: «Οι 100 πρ$ώ$τοι διαδοχικο$ί$ $ά$ρτιοι και 1 πρ$ώ$τος περιττ$ό$ς. Οι 100 επ$ό$μενοι διαδοχικο$ί$ $ά$ρτιοι και ο επ$ό$μενος περιττ$ό$ς κ.ο.κ. επ$΄$ $ά$πειρον. Το σ$ύ$νολο αυτ$ό$ προ$\phi$αν$ώ$ς ε$ί$ναι το $\mathbb{N}$, α$\phi$ο$ύ$ περι$έ$χει εκ κατασκευ$ή$ς $ό$λα τα στοιχε$ί$α του και μ$ό$νον αυτ$ά$. Σε κ$ά$θε πεπερασμ$έ$νο απ$ό$κομμα αυτ$ή$ς της αναδι$ά$ταξης, προ$\phi$αν$ώ$ς κατ$ά$ τα προηγο$ύ$μενα και εκ κατασκευ$ή$ς, θα $έ$χω πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς αρτ$ί$ου περ$ί$που $\frac{100}{101}$ . Και αν θεωρ$ή$σω το $ό$ριο αυτ$ή$ς της αναδι$ά$ταξης, θα βρω ακριβ$ώ$ς $\frac{100}{101}$. Προ$\phi$αν$ώ$ς αυτ$ό$ το παρ$ά$δοξο δεν ισχ$ύ$ει στα πεπερασμ$έ$να σ$ύ$νολα, α$\phi$ο$ύ$ οποιαδ$ή$ποτε αναδι$ά$ταξη-ανακατανομ$ή$ του συν$ό$λου διατηρε$ί$ και το σ$ύ$νολο τις «ευνο$ϊ$κ$έ$ς περιπτ$ώ$σεις» Στο απειροσ$ύ$νολο, με την αναδι$ά$ταξη, διατηρε$ί$ται και το σ$ύ$νολο και οι ευνο$ϊ$κ$έ$ς περιπτ$ώ$σεις, μ$ό$νο που κ$ά$ποιες $\phi$ορ$έ$ς «μπορε$ί$ να χ$ά$νονται στο $ά$πειρο», α$\phi$ο$ύ$ η εκ$ά$στοτε εμ$\phi$αιν$ό$μενη κατανομ$ή$ διατηρε$ί$ται επ$΄$ $ά$πειρον . $Ό$πως δια$\phi$α$ί$νεται απ$ό$ τον τρ$ό$πο κατασκευ$ή$ς του ειδικο$ύ$ αντιπαραδε$ί$γματος, μπορο$ύ$με να παραθ$έ$σουμε και γενικ$ά$ αντιπαραδε$ί$γματα, δηλ. να βρο$ύ$με διατ$ά$ξεις «$ό$σες θ$έ$λουμε» $ό$που η εκ$ά$στοτε υπολογιζ$ό$μενη πιθαν$ό$τητα να ε$ί$ναι οποιοσδ$ή$ποτε ρητ$ό$ς μεταξ$ύ$ 0 και 1. Η αντ$ί$$\phi$αση που διαπιστ$ώ$νεται στην απα$ί$τηση μοναδικ$ή$ς τιμ$ή$ς για το $ί$διο ενδεχ$ό$μενο, α$ί$ρεται με την θε$ώ$ρηση πεπερασμ$έ$νων συν$ό$λων «οσοδ$ή$ποτε μεγ$ά$λου πληθικο$ύ$ αριθμο$ύ$» , $ό$που εκε$ί$ ισχ$ύ$ει το $ό$ποιο συμπ$έ$ρασμα «για κ$ά$θε ν οσοδ$ή$ποτε μεγ$ά$λο» Δηλαδ$ή$, ουσιαστικ$ά$ αυτ$ό$ α$ί$ρεται αν θεωρ$ή$σουμε το $ά$πειρο $ό$χι ως «ολοκληρωμ$έ$νο $ά$πειρο» $ό$χι ως «ενεστωτικ$ό$ $ά$πειρο» $ό$χι «ως ολοκληρωμ$έ$νο μαθηματικ$ό$ αντικε$ί$μενο», δηλ. «εν ενεργε$ί$α» αλλ$ά$ ως -κατ$΄$ Αριστοτ$έ$λην- «εν δυν$ά$μει» το «πραγματικ$ό$ $ά$πειρο» $ό$πως λ$έ$γεται και νοε$ί$ται και θεωρε$ί$ ο Αριστοτ$έ$λης. Σ$ύ$μ$\phi$ωνα με την θε$ώ$ρηση του Αριστοτ$έ$λη, το $\mathbb{N}=\{\mathrm{0,1,2,3,4,...}\nu ,\nu +\mathrm{1,...}\}$ σημα$ί$νει, $ό$τι κ$ά$ποιος μπορε$ί$ να γρ$ά$$\phi$ει $ό$ρους επ$΄$ $ά$πειρο, χωρ$ί$ς να υπ$ά$ρχει $έ$να π$έ$ρας. Το $ά$πειρο των συν$ό$λων εξετ$ά$ζεται «εσωτερικ$ά$» Το $\mathbb{N}$ κατ$΄$ Αριστοτ$έ$λην ε$ί$ναι «δυν$ά$μει» $ά$πειρο. (Μπαντ$έ$ς,Γ. 2002)

Πρ$έ$πει ακ$ό$μα να παρατηρ$ή$σουμε, $ό$τι οι «λα$ϊ$κ$έ$ς διαμ$ά$χες» για τις δ$ύ$ο οπτικ$έ$ς του απε$ί$ρου ε$ί$ναι παν$ά$ρχαιες, συνεχ$ί$ζονται και σ$ή$μερα (λ.χ. ο αριθμ$ό$ς 0,999…. Ισο$ύ$ται ακριβ$ώ$ς με 1 $ή$ «δεν $\phi$τ$ά$νει ποτ$έ$ το1 ;) Επιπτ$ώ$σεις υπ$ά$ρχουν και στην θε$ώ$ρηση λ.χ. του ορ$ί$ου $\underset{\nu \to 0}{\lim }\frac{1}{\nu }=0$ ως μια διαδικασ$ί$α διαρκο$ύ$ς προσ$έ$γγισης του μηδεν$ό$ς χωρ$ί$ς $ό$μως να «το $\phi$θ$ά$νουμε», πρ$ά$γμα που αποτελε$ί$ και $έ$να σ$ύ$γχρονο σοβαρ$ό$ γνωστικ$ό$ (επιστημολογικ$ό$) εμπ$ό$διο για $ό$λες τις βαθμ$ί$δες εκπα$ί$δευσης που διδ$ά$σκονται Απειροστικ$ό$ Λογισμ$ό$. Η σημεριν$ή$ επ$ί$σημη $ά$ποψη παραδ$έ$χεται το «εν ενεργε$ί$α» $ά$πειρο $ό$πως εισ$ή$χθη επ$ί$ Cantor (Μπαντ$έ$ς,Γ. 2002) εν$ώ$ η αντ$ί$$\phi$αση με τα αντιπαραδε$ί$γματα επ$ί$ απειροσυν$ό$λων, που αναδεικν$ύ$εται στο παρ$ό$ν παρ$ά$δειγμα, «α$ί$ρεται» με την καλ$ώ$ς ορισμ$έ$νη $έ$ννοια «Πυκν$ό$τητα στους Φυσικο$ύ$ς Αριθμο$ύ$ς»( natural density $ή$ asymptotic density $ή$ arithmetic density) η οπο$ί$α σχεδ$ό$ν ταυτ$ί$ζεται με την $έ$ννοια της πιθαν$ό$τητας $ό$πως την αναμ$έ$νουμε και κοιν$ώ$ς την εννοο$ύ$με, για κ$ά$ποια υποσ$ύ$νολα του $\mathbb{N}$, νοο$ύ$μενη μ$ό$νο σε ολικ$ή$ δι$ά$ταξη, $ό$ταν ορ$ί$ζεται, και $ό$ταν υπ$ά$ρχει το $ό$ριο. $d(A)=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{A(\nu )}{\nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\left|A\cap [\mathrm{1,}\nu ]\right|}{\nu }$ , $ό$που Α(ν) , η ιδι$ό$τητα Α. Ισχ$ύ$ει λ.χ. $d(\mathbb{N})=\mathrm{1,}d(A)=\mathrm{0.5,}d(A^C)=1-d(A),d(\{\mathrm{1,2,...,}\kappa \})=0\kappa .\tau .\lambda .$ (Βικιπα$ί$δεια 2020) . Στα παρακ$ά$τω, $ό$ταν ομιλο$ύ$με για «πιθαν$ό$τητα στο $\mathbb{N}$ » εννοο$ύ$με την «ειδικ$ή$ συνθ$ή$κη πιθαν$ό$τητας» δηλ. την «Πυκν$ό$τητα στους Φυσικο$ύ$ς», d, $ό$που ισχ$ύ$ουν $ό$λα τα αξι$ώ$ματα της πιθαν$ό$τητας, εκτ$ό$ς απ$ό$ το μον$ό$τιμον της πιθαν$ό$τητας, σε αναδι$ά$ταξη του απειροσυν$ό$λου και η οπο$ί$α $ό$μως, διατηρε$ί$ την συν$έ$χεια μετ$ά$βασης απ$ό$ το οσοδ$ή$ποτε μεγ$ά$λο, στο $ά$πειρο, νοο$ύ$μενο μ$ό$νο εν δυν$ά$μει, χωρ$ί$ς δηλ. να χρειαστε$ί$ να διαχειριστο$ύ$με το «Ξενοδοχε$ί$ον το $Ά$πειρον» του Hilbert (Dekofsky,J 2020)

Παρ$ά$δειγμα 3

Θεωρ$ώ$ντας π$ά$λι το πε$ί$ραμα του παραδε$ί$γματος 2, πο$ί$α η πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς τελε$ί$ου τετραγ$ώ$νου;

Σ$ύ$μ$\phi$ωνα με τα προηγο$ύ$μενα πρ$έ$πει να βρο$ύ$με την π$ά$λι την ν$έ$α π(ν) η οπο$ί$α αυτ$ή$ την $\phi$ορ$ά$ θα μας δ$ί$νει τον αριθμ$ό$ των τελε$ί$ων τετραγ$ώ$νων μ$έ$χρι το ν.

Προ$\phi$αν$ώ$ς $\pi (\nu )=\left[\sqrt{\nu }\right]$ $ό$που σ$ύ$μ$\phi$ωνα με τις ιδι$ό$τητες της συν$ά$ρτησης «ακ$έ$ραιο μ$έ$ρος» $έ$χουμε $\sqrt{\nu }-1\le \left[\sqrt{\nu }\right]\le \sqrt{\nu }$ $ό$που με δια$ί$ρεση με το ν και λ$ή$ψη ορ$ί$ων, $έ$χω $\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\nu }-1}{\nu }\le \underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\left[\sqrt{\nu }\right]}{\nu }\le \underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\sqrt{\nu }}{\nu }$ $ή$ $\underset{\nu \to \infty }{\lim }\left(\frac{1}{\sqrt{\nu }}-\frac{1}{\nu }\right)\le \underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\left[\sqrt{\nu }\right]}{\nu }\le \underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{\nu }}$ $ή$ $0\le \underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\left[\sqrt{\nu }\right]}{\nu }\le 0$ $Ά$ρα η ζητο$ύ$μενη πιθαν$ό$τητα ε$ί$ναι 0 .

Ομο$ί$ως γενικε$ύ$ουμε για τ$έ$λειους κ$ύ$βους, τ$έ$ταρτες δυν$ά$μεις κ.ο.κ. εργαζ$ό$μενοι αν$ά$λογα και θεωρ$ώ$ντας ως $\pi (\nu )=\sqrt[\kappa ]{\nu },\mu \epsilon \kappa >\mathrm{2,}\kappa \in \mathbb{N}$.

Παρ$ά$δειγμα 4

Θεωρο$ύ$με κι αυτ$ή$ την $\phi$ορ$ά$ το $ί$διο πε$ί$ραμα και αναζητο$ύ$με την πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς πρ$ώ$του αριθμο$ύ$.

Εδ$ώ$ $έ$χουμε $έ$να εκ πρ$ώ$της $ό$ψεως αξεπ$έ$ραστο πρ$ό$βλημα α$\phi$ο$ύ$ μας ε$ί$ναι ακ$ό$μη $ά$γνωστη η ακριβ$ή$ς κατανομ$ή$ των απε$ί$ρων πρ$ώ$των που υπ$ά$ρχουν. Δεν γνωρ$ί$ζουμε κ$ά$ποιο ακριβ$ή$ αλγεβρικ$ό$ τ$ύ$πο για το π(ν). Γνωρ$ί$ζουμε $ό$μως $έ$να μνημει$ώ$δες αποτ$έ$λεσμα της Θεωρ$ί$ας Αριθμ$ώ$ν «Θε$ώ$ρημα των Πρ$ώ$των Αριθμ$ώ$ν») $ό$που σ$ύ$μ$\phi$ωνα με μια διατ$ύ$πωση του οπο$ί$ου ισχ$ύ$ει $\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\pi (\nu )}{\frac{\nu }{\ln \nu }}=1$

Συνεπ$ώ$ς για την ε$ύ$ρεση του σχετικο$ύ$ ορ$ί$ου $έ$χω , $\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\pi (\nu )}{\nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\frac{\nu }{\ln \nu }}{\nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\nu }{\nu \ln \nu }=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{1}{\ln \nu }=0$ , (Λαρετζ$ά$κη, Ε.2012) και (Βικιπα$ί$δεια 2020)

Παρ$ά$δειγμα 5

Αν επιλ$έ$ξουμε τυχα$ί$α $έ$να στοιχε$ί$ο του $\mathbb{Q}$ , πο$ί$α η πιθαν$ό$τητα στο δεκαδικ$ό$ σ$ύ$στημα αρ$ί$θμησης να μπορε$ί$ να γρα$\phi$ε$ί$ ως δεκαδικ$ό$ς τερματιζ$ό$μενος;

Κ$ά$θε στοιχε$ί$ο του $\mathbb{Q}$ γρ$ά$$\phi$εται στην μορ$\phi$$ή$ $\frac{\mu }{\nu },\mu \epsilon \mu \in \mathbb{N}\kappa \alpha \iota \nu \in {\mathbb{N}}^{*}$ και μ$ά$λιστα με μοναδικ$ό$ τρ$ό$πο αν επ$ί$ πλ$έ$ον απαιτ$ή$σουμε (μ,ν)=1. Για να περατο$ύ$ται η Ευκλε$ί$δεια δια$ί$ρεση μ:ν πρ$έ$πει ο διαιρ$έ$της, το ν, να ε$ί$ναι εκτ$ό$ς της τετριμμ$έ$νης περ$ί$πτωσης 1, $ή$ δ$ύ$ναμη του 2 $ή$ δ$ύ$ναμη του 5 $ή$ δ$ύ$ναμη του 2 και του 5. Το σχ$ή$μα που οδηγε$ί$ σε αυτ$ό$ το συμπ$έ$ρασμα ε$ί$ναι $ό$τι $έ$χουμε $έ$να σχ$ή$μα δια$ί$ρεσης $\frac{\mu }{\nu }=\frac{\mu }{2^{{\nu }_1}\cdot 5^{{\nu }_2}}$ (*) $ό$που τα ${\nu }_1,{\nu }_2$ μπορε$ί$ να ε$ί$ναι οποιοδ$ή$ποτε $\phi$υσικο$ί$. Στην περ$ί$πτωση $ό$που ${\nu }_1={\nu }_2$ η δια$ί$ρεση ε$ί$ναι περατο$ύ$μενη, α$\phi$ο$ύ$ η (*) γ$ί$νεται $\frac{\mu }{\nu }=\frac{\mu }{2^{{\nu }_1}\cdot 5^{{\nu }_1}}=\frac{\mu }{{10}^{{\nu }_1}}$ οπ$ό$τε στον ακ$έ$ραιο ν, μετα$\phi$$έ$ρουμε την νοο$ύ$μενη υποδιαστολ$ή$ ${\nu }_1$ θ$έ$σεις αριστερ$ά$. Αν θεωρ$ή$σουμε ${\nu }_1>{\nu }_2$, τ$ό$τε η (*) γ$ί$νεται $\frac{\mu }{\nu }=\frac{\mu \cdot 5^{{\nu }_1-{\nu }_2}}{2^{{\nu }_1}\cdot 5^{{\nu }_2}\cdot 5^{{\nu }_1-{\nu }_2}}=\frac{\mu \cdot 5^{{\nu }_1-{\nu }_2}}{{10}^{{\nu }_1}}$, οπ$ό$τε στον ακ$έ$ραιο αριθμητ$ή$ χωρ$ί$ζουμε ${\nu }_1$ θ$έ$σεις αριστερ$ά$. Ομο$ί$ως και $ό$ταν ${\nu }_2>{\nu }_1$ πολλαπλασι$ά$ζουμε αριθμητ$ή$ και παρονομαστ$ή$ με $2^{{\nu }_2-{\nu }_1}$ και καταλ$ή$γουμε σε αν$ά$λογο συμπ$έ$ρασμα.

Αντιστρ$ό$$\phi$ως, αν π$ά$ρουμε οποιονδ$ή$ποτε περατο$ύ$μενο (δηλ. μη περιοδικ$ό$ $ή$ με περ$ί$οδο δι$ά$$\phi$ορη του 9) αυτ$ό$ς γρ$ά$$\phi$εται αμ$έ$σως ως πηλ$ί$κο $\phi$υσικ$ώ$ν αν ως αριθμητ$ή$ θεωρ$ή$σουμε τον δεκαδικ$ό$ χωρ$ί$ς κ$ό$μμα και παρονομαστ$ή$ το 10^ν $ό$που ν ο ακ$έ$ραιος αριθμ$ό$ς των ψη$\phi$$ί$ων του, μετ$ά$ την υποδιαστολ$ή$. Ο παρονομαστ$ή$ς ε$ί$ναι της μορ$\phi$$ή$ς 2^ν5^ν, $ό$που και μετ$ά$ τις ενδεχ$ό$μενες απλοποι$ή$σεις τ$ί$θεται στην γενικ$ή$ μορ$\phi$$ή$ (*)

Εδ$ώ$ γ$ί$νεται $\phi$ανερ$ό$ $ό$τι στην αναζ$ή$τηση της πιθαν$ό$τητας $έ$χουμε ως τελικ$ό$ σχ$ή$μα το $\frac{2}{\infty }=0$ , με το δεδομ$έ$νο $ό$τι κ$ά$τι ισχ$ύ$ει συνδυαστικ$ά$ για δ$ύ$ο μ$ό$νο πρ$ώ$τους το 2 και το 5, εν$ώ$ οι πρ$ώ$τοι απ$ό$ την εποχ$ή$ του Ευκλε$ί$δη ε$ί$ναι γνωστ$ό$ $ό$τι ε$ί$ναι $ά$πειροι.

Παρ$ά$δειγμα 6

Απ$ό$ το παρ$ά$δειγμα 2, $έ$χουμε, $ό$τι η πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς αρτ$ί$ου απ$ό$ το $\mathbb{N}$ ε$ί$ναι $\mathrm{½}$ επομ$έ$νως και για το συμπληρωματικ$ό$ ενδεχ$ό$μενο εξαγωγ$ή$ς αρτ$ί$ου, $έ$χουμε π$ά$λι πιθαν$ό$τητα $\mathrm{½}$ . Αν θεωρ$ή$σω το ν$έ$ο πε$ί$ραμα τ$ύ$χης «εξ$ά$γω απ$ό$ το $\mathbb{N}$ με επαν$ά$θεση $\phi$υσικο$ύ$ς, $έ$ως $ό$του υπ$ά$ρξει εξαγωγ$ή$ αρτ$ί$ου, οπ$ό$τε το πε$ί$ραμα σταματ$ά$» Αν ως δειγματ$ό$χωρο θεωρ$ή$σω το π$ό$σες $\phi$ορ$έ$ς θα κ$ά$νω εξαγωγ$ή$ $έ$ως $ό$του εξαχθε$ί$ $ά$ρτιος αυτ$ό$ς θα ε$ί$ναι Δ= ${\mathbb{N}}^{*}$ =Ω= ={1,2,3,4,5…} με πιθαν$ό$τητες για $ό$λα τα στοιχει$ώ$δη ενδεχ$ό$μενα $p(1)=\frac{1}{2},p(2)=\frac{1}{2^2},p(3)=\frac{1}{2^3}\mathrm{,...,}p(\nu )=\frac{1}{2^{\nu }}\mathrm{,...}$ Ισχ$ύ$ει κατ$ά$ τα γνωστ$ά$ της αξιωματικ$ή$ς θεμελ$ί$ωσης του ορισμο$ύ$ p(Ω) = ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{\infty }\frac{1}{2^{\nu }}}=1$ . Αν αναζητ$ή$σω την πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς αρτ$ί$ου μετ$ά$ απ$ό$ 10 εξαγωγ$έ$ς θα $έ$χω p(10)= ${\displaystyle \sum _{\nu =1}^{10}\frac{1}{2^{\nu }}}=\frac{203}{204}\simeq 1$ Η $ί$δια πιθαν$ό$τητα για μετ$ά$ απ$ό$ 1.000 εξαγωγ$έ$ς η δημ$ό$σια μηχαν$ή$ WolframAlpha υπολογισμ$ώ$ν και $ό$χι μ$ό$νο, δ$ί$νει $έ$να κλ$ά$σμα με 605-ψ$ή$$\phi$ιους $ό$ρους, που δια$\phi$$έ$ρουν κατ$ά$ μον$ά$δα στο τελευτα$ί$ο ψη$\phi$$ί$ο του.

Η εισαγωγ$ή$ των δεδομ$έ$νων στην υπερμηχαν$ή$ υπολογισμο$ύ$, δεν γ$ί$νεται κατ$΄$αν$ά$γκην με προγραμματιστικ$έ$ς εντολ$έ$ς, αλλ$ά$ και με συμβατικ$ό$ μαθηματικ$ό$ τρ$ό$πο αναπαρ$ά$στασης. (WolframAlpha computational intelligence. 2020)

Η πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς αρτ$ί$ου μετ$΄$απ$ό$ $ά$ρτιο αριθμ$ό$ αριθμ$ό$ προσπαθει$ώ$ν, ε$ί$ναι η $p\left({\rm A}=\{\mathrm{2,4,6,8,10,12}\dots \}\right)={\displaystyle \sum _{\nu =1}^{\infty }\frac{1}{2^{2\nu }}}=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^4}+\frac{1}{2^3}+\mathrm{...}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}$

Οπ$ό$τε και η πιθαν$ό$τητα του συμπληρωματικο$ύ$ ενδεχομ$έ$νου εξαγωγ$ή$ς αρτ$ί$ου μετ$ά$ απ$ό$ περιττ$ό$ αριθμ$ό$ προσπαθει$ώ$ν θα ε$ί$ναι $p(A^C)=p(\Omega )-p(A)=\frac{2}{3}$ . Η δια$\phi$ορ$ά$ στις πιθαν$ό$τητες, ο$\phi$ε$ί$λεται $ό$τι η εξαγωγ$ή$ αρτ$ί$ου την πρ$ώ$τη $\phi$ορ$ά$ (περιττ$ή$) ε$ί$ναι πολ$ύ$ μεγαλ$ύ$τερη (διπλ$ά$σια και υπερδιπλ$ά$σια) απ$ό$ $ό$λες τις υπ$ό$λοιπες. $Ά$ξιο προσοχ$ή$ς επ$ί$σης ε$ί$ναι $ό$τι δεν $έ$χει σημασ$ί$α αν η εξαγωγ$ή$ γ$ί$νεται με επαν$ά$θεση $ή$ χωρ$ί$ς επαν$ά$θεση, κ$ά$τι πολ$ύ$ ουσι$ώ$δες σημαντικ$ό$ για την τιμ$ή$ της πιθαν$ό$τητας σε πεπερασμ$έ$νους δειγματ$ό$χωρους. Η απ$ό$δειξη αυτ$ή$ς της ανεξαρτησ$ί$ας του τρ$ό$που εξαγωγ$ή$ς $έ$γκειται στον $ί$διο τον τρ$ό$πο του υπολογισμο$ύ$ της πιθαν$ό$τητας. Η πιθαν$ό$τητα προκ$ύ$πτει ως $p(ά\rho \tau \iota o\varsigma )=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\pi (\nu )}{\nu }=\frac{1}{2}$ Μετ$ά$ απ$ό$ οσεσδ$ή$ποτε κ εξαγωγ$έ$ς περιττο$ύ$ πριν εξαχθε$ί$ $ά$ρτιος, ο υπολογισμ$ό$ς της πιθαν$ό$τητας πα$ί$ρνει την μορ$\phi$$ή$ $p(ά\rho \tau \iota o\varsigma )=\underset{\nu \to \infty }{\lim }\frac{\pi (\nu )}{\nu -\kappa }=\frac{1}{2}$ οπ$ό$τε δεν $έ$χουμε μεταβολ$ή$ της τιμ$ή$ς.

Συμπερ$ά$σματα

Α) Παρουσι$ά$στηκε, $ό$τι αν απ$ό$ το $\mathbb{N}$ α$\phi$αιρ$έ$σουμε οσοδ$ή$ποτε πεπερασμ$έ$νο πλ$ή$θος περιττ$ώ$ν, η πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς αρτ$ί$ου δεν αλλ$ά$ξει καθ$ό$λου και εξακολουθε$ί$ να ε$ί$ναι σταθερ$ή$ $\mathrm{½}$ (Παρ$ά$δειγμα 6)

Β) Σε κ$ά$θε χ$ώ$ρο πιθανοτ$ή$των ισχ$ύ$ει π$ά$ντα $p(A)>0\Rightarrow A\ne \varnothing$ (3) $ό$μως δεν ισχ$ύ$ει η αντ$ί$στρο$\phi$η πρ$ό$ταση. Στο παρ$ά$δειγμα1, $έ$χουμε υποπαραδε$ί$γματα, με σ$ύ$νολα· πεπερασμ$έ$νο, $ά$πειρο αριθμ$ή$σιμο και υπεραριθμ$ή$σιμο, που ε$ί$ναι $ό$λα αντιπαραδε$ί$γματα στην καθολικ$ή$ ισχ$ύ$ της αντ$ί$στρο$\phi$ης πρ$ό$τασης (3) Επ$ί$σης ισχ$ύ$ει η πρ$ό$ταση ${\rm A}\subseteq {\rm B}\Rightarrow p(A)\le p(B)$ (4) Στο παρ$ά$δειγμα 1 $έ$χουμε ουσιαστικ$ά$ ειδικ$ή$ οριακ$ή$ επαλ$ή$θευση της (4) μ$έ$σω του $\mathbb{Q}\subset {\rm A}(\alpha \lambda \gamma \epsilon \beta \rho \iota \kappa oί)\Rightarrow p(\mathbb{Q})=p({\rm A})$ $ό$πως και το τ$ύ$που Cantor σ$ύ$νολο στο [1.60,1.70] α$\phi$ο$ύ$ κατασκευ$ά$ζεται σε αυτ$ό$, $ό$πως και στο [0,1] $ό$που κι αυτ$ό$ $έ$χει μ$έ$τρο πιθαν$ό$τητας το 0, στον δειγματ$ό$χωρο [1.60,1.70], παρ$΄$ $ό$τι ε$ί$ναι υπεραριθμ$ή$σιμο.

Γ) Αν υπ$ά$ρξει μια σκ$έ$ψη απ$ό$δοσης τιμ$ώ$ν πιθαν$ό$τητας στα στοιχει$ώ$δη ενδεχ$ό$μενα, υπεραριθμ$ή$σιμα μονοσ$ύ$νολα του [1.60,1.70] $ό$σο μικρ$έ$ς θετικ$έ$ς και να ε$ί$ναι αυτ$έ$ς, οσοδ$ή$ποτε κοντ$ά$ στο 0, αν δεχθο$ύ$με ως ε>0 την μικρ$ό$τερη τιμ$ή$ πιθαν$ό$τητας απ$ό$ $ό$λες, τ$ό$τε υπ$ά$ρχει ${\nu }_0\in \mathbb{N}$ αρκο$ύ$ντως μεγ$ά$λο, $έ$τσι $ώ$στε ${\nu }_0\cdot \epsilon >1$ , $ά$τοπο, δι$ό$τι το $ά$θροισμα $ό$λων των στοιχειωδ$ώ$ν ενδεχομ$έ$νων σε κ$ά$θε δειγματ$ό$χωρο, πρ$έ$πει να ε$ί$ναι 1 και αυτ$ά$ ε$ί$ναι κατ$΄$αριθμ$ό$ν, $ό$χι απλ$ώ$ς αριθμ$ή$σιμα, αλλ$ά$ υπεραριθμ$ή$σιμα. Το προηγο$ύ$μενο επιχε$ί$ρημα, ε$ί$ναι το αξ$ί$ωμα των Αρχιμ$ή$δους -Ευδ$ό$ξου και δεν μπορε$ί$ να παραβλε$\phi$θε$ί$ στην Συμβατικ$ή$ Αν$ά$λυση που δεχ$ό$μαστε στην Πιθανοθεωρ$ί$α. (To αξ$ί$ωμα των Α-Ε δεν ισχ$ύ$ει στην «Μη Συμβατικ$ή$ Αν$ά$λυση» -Νon Standard Analysis)

Δ) Στο παρ$ά$δειγμα 1, η πιθαν$ό$τητα εξαγωγ$ή$ς ασυμμ$έ$τρου αριθμο$ύ$, ε$ί$ναι 1 α$\phi$ο$ύ$ η πιθαν$ό$τητα του συμπληρωματικο$ύ$ ενδεχομ$έ$νου (ρητ$ό$ς ε$ί$τε αλγεβρικ$ό$ς) ε$ί$ναι 0 . Η βιβλιογρα$\phi$$ί$α αυτ$ό$ το $\phi$αιν$ό$μενο το εντ$ά$σσει σε $έ$ναν πιο ευρ$ύ$ ορισμ$ό$ του τ$ύ$που :

Ορισμ$ό$ς: «$Έ$να ενδεχ$ό$μενο ${\rm A}\subseteq \Omega$ λ$έ$γεται σχεδ$ό$ν σ$ί$γουρο, αν $p(A^C)=0$ . Λ$έ$γεται σχεδ$ό$ν αδ$ύ$νατο αν $p(A)=0$. Λ$έ$με $ό$τι $έ$να ενδεχ$ό$μενο συμβα$ί$νει σχεδ$ό$ν σ$ί$γουρα, αν συμβα$ί$νει με πιθαν$ό$τητα 1.» (Κολουντζτ$ά$κης, Μ.2006) Μια κριτικ$ή$ παρατ$ή$ρηση για το «σχεδ$ό$ν» που μπορε$ί$ να γ$ί$νει, ε$ί$ναι $ό$τι οι τιμ$έ$ς 0 και 1 εξ$ά$γονται ως ακριβε$ί$ς και σημειακ$έ$ς, και $ό$χι με οποιαδ$ή$ποτε προσ$έ$γγιση.

Ε) Οι $ά$πειροι δειγματ$ό$χωροι, εξ ορισμο$ύ$ αποκλε$ί$ουν οποιουδ$ή$ποτε ε$ί$δους «πειραματικ$ή$ επαλ$ή$θευση» $ή$ στατιστικ$ή$ προσ$έ$γγιση. Μ$ό$νο στοχαστικ$ά$ και μ$ό$νο με θεωρητικ$ά$ μαθηματικ$ά$ εργαλε$ί$α και μοντ$έ$λα τους μελετο$ύ$με. Μπορο$ύ$με να εκτυπ$ώ$σουμε $έ$να αντ$ί$τυπο της Καιν$ή$ς διαθ$ή$κης σε μονοσ$έ$λιδα, στην συν$έ$χεια να αποκ$ό$ψουμε $ό$λα τα γρ$ά$μματα $έ$να προς $έ$να , να τα ανακατ$ώ$σουμε, να τα ρ$ί$ξουμε στον α$έ$ρα, $ό$λα αυτ$ά$ να καθ$ί$σουν με την $ό$ψη προς τα π$ά$νω, μετ$ά$ να τα β$ά$λουμε σε μια σειρ$ά$ και να βγει το $ί$διο το κε$ί$μενο, με τον επ$ί$ πλ$έ$ον περιορισμ$ό$, το $ί$διο γρ$ά$μμα, να βγει στην $ί$δια θ$έ$ση που $ή$ταν αρχικ$ά$. Σε μια ηλεκτρονικ$ή$ διε$ύ$θυνση βρ$ή$καμε το κε$ί$μενο και με την βο$ή$θεια του επεξεργαστ$ή$ κειμ$έ$νου, βρ$ή$καμε πως $έ$χει «878.220 χαρακτ$ή$ρες, με κεν$ά$» Επομ$έ$νως η πιθαν$ό$τητα επανασ$ύ$νθεσης του κειμ$έ$νου σε $έ$να τ$έ$τοιο πε$ί$ραμα πιθαν$ό$τητας, ε$ί$ναι: $\frac{1}{2^{878.220}}\cdot \frac{1}{878.220!}\simeq \mathrm{7,173}{\rm X}{10}^{-5102760}>0$ (WolframAlpha computational intelligence. 2020) Αυτ$ό$ θα εθεωρε$ί$το ως θα$ύ$μα, αλλ$ά$ π$ά$ντα υπ$ά$ρχει πιθαν$ό$τητα να συμβε$ί$!

Επ$ί$λογος

Οι $ά$πειροι δειγματ$ό$χωροι β$ά$ζουν το $ά$πειρο απ$ό$ την π$ό$ρτα της πιθανοθεωρ$ί$ας $ό$που εκε$ί$ βγα$ί$νουν και τα «παρ$ά$δοξ$ά$» του. Β$ά$ζουμε τα εισαγωγικ$ά$ για να τον$ί$σουμε την μη ε$ύ$κολη αποδοχ$ή$ τους απ$ό$ τον πεπερασμ$έ$νο μας νου που θεωρε$ί$ $ό$τι μπορε$ί$ με μαθηματικ$ή$ α$\phi$α$ί$ρεση και μαθηματικ$ή$ γεν$ί$κευση, να κατανο$ή$σει την $\phi$$ύ$ση του απε$ί$ρου και του απειροστο$ύ$. Σε κ$ά$θε περ$ί$πτωση $ό$μως, η αλλαγ$ή$ πλαισ$ί$ου και αναπαρ$ά$στασης, βοηθ$ά$ πολ$ύ$.

Ανα$\phi$ορ$έ$ς

Πατ$έ$ρας, Ι. (2016) «Γνωσιακ$ή$ προσ$έ$γγιση στα Μαθηματικ$ά$, η περ$ί$πτωση του Απε$ί$ρου», Μαθηματικ$ή$ Επιθε$ώ$ρηση (τε$ύ$χος 81 -82)

Χαραλαμπ$ί$δης, Χ. (2003) «Σημει$ώ$σεις Πιθανοτ$ή$των και Στατιστικ$ή$ς» (σελ. 2,13,14) Αθ$ή$να Διατ$ί$θεται σε (https://eclass.uop.gr/modules/document/file.php/TST244/ProbabilityandStatistics.pdf πρ$ό$σβαση 11/8/2019 )

Κολουντζ$ά$κης, Μ.(2010) «Μ$έ$τρο και Ολοκλ$ή$ρωμα Lebesgue, Εγχειρ$ί$διο Χρ$ή$σης» , Ηρ$ά$κλειο (διατ$ί$θεται σε http://eigen-space.org/mk/harmonic1011/lebesgue.pdf , πρ$ό$σβαση 11/8/2019)

Πλατ$ά$ρος, Ι. (2018) «Περ$ί$ της δυνατ$ό$τητας μ$έ$τρησης του μεγ$έ$θους μ$ή$κος “3m”» Πρακτικ$ά$ 35^ου Συνεδρ$ί$ου Ε.Μ.Ε. Μαρο$ύ$σι (Διατ$ί$θεται σε https://www.academia.edu/37949139/103._Περ$ί$_της_δυνατ$ό$τητας_της_μετρ$ή$σεως_του_μεγ$έ$θους_μ$ή$κος_3m_/ πρ$ό$σβαση 11/8/2019

Μπαντ$έ$ς, Γ. (2002) «Θεμελι$ώ$δεις $έ$ννοιες των Μαθηματικ$ώ$ν» Σ$έ$ρρες (Απ$ό$σπασμα «Το ενεργητικ$ό$ $ά$πειρο και η θεωρ$ί$α συν$ό$λων του Κ$ά$ντορ» διατ$ί$θεται σε https://www.academia.edu/32363911/Το_ενεργητικ$ό$_$ά$πειρο_και_η_θεωρ$ί$α_των_συν$ό$λων/

Βικιπα$ί$δεια (2020) «Natural Density» διατ$ί$θεται σε https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_density

Dekofsky,J (2020).«The Infinite Hotel» Β$ί$ντεο. Διατ$ί$θεται σε https://ed.ted.com/lessons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky

Λαρετζ$ά$κη, Ε.(2012) «Οι πρ$ώ$τοι Αριθμο$ί$» Διπλωματικ$ή$ Εργασ$ί$α στο ΕΜΠ Αθ$ή$να (διατ$ί$θεται σε http://www.math.ntua.gr/~sofia/dissertations/Larentzaki.pdf πρ$ό$σβαση11/8/2019)

Βικιπα$ί$δεια (2020) «Θε$ώ$ρημα Πρ$ώ$των Αριθμ$ώ$ν» Διατ$ί$θεται σε https://el.wikipedia.org/wiki/Θε$ώ$ρημα_πρ$ώ$των_αριθμ$ώ$ν/

WolframAlpha computational intelligence. (2020) Διατ$ί$θεται σε https://www.wolframalpha.com/